Comment boire mon jus de fruits le matin ?

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Il y a quelques temps, j’ai discuté avec un ami du fait que j’aimais les maths. Et au fil de la discussion, je me suis rendu compte que ce blog pouvait être l’occasion d’en parler un peu. Ça sera donc le programme du jour 🙂

Le matin, j’ai une routine de petit déjeuner assez cadrée : Je bois du thé avec des biscuits, puis je mange une tartine avec un verre de jus de fruits. Pour alterner, je fais les choses dans cet ordre : un biscuit, du thé, une moitié de tartine, du jus de fruit, et je recommence. Ça paraît peut-être bizarre, mais c’est comme ça. C’est une routine qui m’est venue il y a assez longtemps et qui me permet d’avoir tous les apports dont j’ai besoin jusqu’au déjeuner.

Puisque je divise tout en deux, je bois mon thé et mon jus de fruits en deux temps. Et autant pour le thé, que je bois dans un mug parfaitement cylindrique, j’arrive à connaître la moitié facilement. Autant pour mon jus de fruits, c’est une tout autre histoire. La question est donc :

Quand dois-je m’arrêter de boire mon jus de fruits pour en avoir bu la moitié ?

C’est ce à quoi on va essayer de répondre aujourd’hui !

Reformulation du problème

La première étape lorsqu’on veut répondre à ce genre de questions, c’est de reformuler le problème. Et puisqu’on parle de maths ici, il s’agit de chercher une équation à résoudre. Donc quelle équation peut représenter de manière adéquate le problème qu’on se pose ?

L’une des manières de voir les choses, c’est de considérer le volume de jus de fruits présent dans le verre. Ce volume représente la quantité totale de jus de fruits que je vais boire. Donc puisque je veux boire en deux temps, il faut que je sois capable de diviser ce volume en deux.

Donc ça, c’est le premier point ! Maintenant, ce que je cherche vraiment, c’est pas un volume, mais plutôt une hauteur, car c’est ce que je peux observer visuellement dans mon verre. De plus, mon verre n’a pas droit, donc pour calculer les volumes, ça n’est pas juste la formule classique V = (Aire de la base)*hauteur. Il y a donc deux choses à faire :

• Tout d’abord savoir comment calculer le volume total de jus dans mon verre en fonction de la hauteur de jus
• Et ensuite trouver la hauteur qui correspond à la moitié du volume total.

Une manière d’écrire cela mathématiquement est de dire qu’on cherche une hauteur h telle que l’expression suivante est validée :

Volume d’un cylindre tronconique

On va d’abord commencer par un peu de théorie. Il va falloir utiliser un outil mathématique qu’on appelle « intégrale ». Si vous ne connaissez pas ça, allez à la section suivante 🙂

Mon verre a la forme de ce qu’on appelle un cylindre tronconique. Le mot est un peu barbare, mais en fait, il signifie qu’on parle d’un cône auquel on enlève le bout pointu. Notre problème est donc de calculer le volume d’un cylindre tronconique. En cherchant sur internet, on peut trouver l’expression exacte. Personnellement, j’ai envie de repartir de la base, donc je vais la démontrer.

On va imaginer que le verre est un cylindre tronconique de hauteur H, avec un rayon inférieur r_i et un rayon supérieur r_s. Si on fait une coupe horizontale du cylindre à une hauteur h donnée, on obtient un cercle dont le rayon est défini ainsi :

En fait, la rayon est une fonction affine qui dépend de la hauteur, et puisqu’on connaît le rayon inférieur, le rayon inférieur et la hauteur totale, on peut trouver le rayon pour n’importe quelle hauteur intermédiaire.

Il faut ensuite voir le volume du cylindre tronconique comme l’intégrale de l’aire de tous les cercles ayant un rayon r(h) pour h compris entre 0 et la hauteur que l’on souhaite. L’expression est alors :

Si on cherche à connaître le volume total du verre, il faut mettre h=H. On peut ensuite calculer l’intégrale et on obtient le résultat suivant :

L’équation à résoudre

Ça c’est le résultat pour le volume total, mais en général, on ne remplit pas le verre à ras-bord ! Il faut donc

À ce stade, il faut faire un peu de développement parce qu’il nous faut l’expression de V uniquement en fonction de h et des trois données qu’on a : r_i, r_s et H. C’est assez calculatoire, mais on arrive à l’expression suivante :

Voilà ! Donc ce qu’on a, c’est l’équation d’un volume de liquide versé dans le verre à la hauteur h. Donc si on verse du jus de fruits jusqu’à une hauteur h_jus, on aura un volume V(h_jus).

Et donc, on reformuler la question à notre problème : On cherche la hauteur h telle que le volume associé sera égal à la moitié du volume de jus, soit :

L’équation paraît facile écrite comme ça, mais finalement, les informations qui sont cachées derrière ne sont pas si évidentes !

La résolution

L’équation à résoudre est la suivante :

Déjà, on peut simplifier par pi/3 car il apparait en facteur des deux côtés. Ensuite, le terme de droite est une constante car on connaît toutes les valeurs (on sait quelle hauteur de jus on verse initialement). Le terme à gauche est un polynôme de degré 3 avec pour inconnue h. L’avantage d’un polynôme de degré 3, c’est qu’on peut dire qu’il y a au moins une solution réelle à notre équation. Pourquoi ? Eh bien pour deux raisons :

• Un polynôme est une fonction continue. c’est-à-dire qu’on peut tracer sa courbe sans lever le crayon,
• Et un polynôme de degré 3 à des limites opposées en -infini et +infini.

Admettons, si en -infini, la limite de notre polynôme est -infini. Alors en +infini, sa limite sera +infini. Et puisqu’il est continu, cela signifie que le polynôme passe nécessairement par 0. Donc il y a forcément au moins une solution réelle.

Ça c’est pour la partie mathématique. En réalité, on sait qu’il n’y a qu’une solution réelle car il n’y a qu’un seul moyen de remplir notre verre à moitié. Il n’y a donc qu’une seule solution réelle ! En l’occurrence, les deux autres solutions sont complexes et conjuguées mais ce n’est pas très important ici.

Maintenant qu’on sait qu’il n’y a qu’une solution, on a deux manières de la trouver :

• Soit on va trouver l’expression exacte de la solution,
• Soit on va trouver une valeur approchée de cette solution.

Pour préparer cet article, j’ai fait des tests en allant le plus loin possible pour avoir les expressions exactes. J’aurais pu par exemple utiliser des valeurs approchées dès le moment où je calcule l’expression du volume en fonction de la hauteur par exemple. Cependant, ici, pour varier les plaisirs, mais surtout pour ne pas avoir à calculer ni recopier une expression interminable, je vais utiliser la méthode de la valeur approchée.

Alors, de quoi on a besoin ? Eh bien des valeurs de trois paramètres qu’on utilise depuis le début, r_i, r_s et H, ainsi que de la hauteur de jus versée h_jus. Dans mon cas, j’ai :

• r_i = 0,0275m
• r_s = 0,0425m
• H = 0,0870m
• h_jus = 0,0400m

Une fois ces valeurs connues, notre problème à résoudre devient alors le suivant :

Ça paraît si simple maintenant ! Mais attention, ce sont des valeurs approchées ! Mais ça nous permet de faire nos calculs et, si l’on est suffisamment précis, on aura une valeur approchée acceptable pour notre question. Dans notre cas, on finit par trouver h=0,0222m, soit 2,22cm.

La conclusion

Grâce à cette démonstration, on sait que si je verse du jus de fruits dans mon verre jusqu’à une hauteur de 4cm, je devrai d’abord en boire sur une hauteur de 1,78cm, puis je pourrai boire les 2,22cm restants.

Après, très honnêtement, c’est assez peu probable que je me souvienne de tout ça le matin à 07h30.

Mais ceci dit, j’ai trouvé l’exercice intéressant ! C’était intéressant de trouver comment formuler le problème, puis d’essayer d’aller jusqu’au bout avec les expressions exactes, mais finalement choisir de calculer une valeur approchée pour se faire une représentation visuelle du résultat !